走时反演（Traveltime Inversion）方法笔记

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走时层析成像是基于地震射线理论的方法

地震射线的理论基础是在高频近似条件下，地震波场的主要能量沿着射线轨迹附近传播至接收器。基于射线理论的走时层析成像，首先由射线追踪方法获得介质内传播的地震射线，并由计算的理论到时和观测到时差来反演介质属性。在地震射线走时层析成像中，已知的观测数据是射线走时，未知参数是介质的速度。

初至旅行时层析反演的方程组

初至旅行时层析反演近地表模型精度分析，需要先将其线性化，然后再利用局部线性化方法进行迭代反演。此类求解方法首先建立一个初始模型, 然后利用射线追踪方法计算模型的初至旅行时, 再与观测的初至旅行时进行比较, 反复修改模型直至计算旅行时与观测旅行时的误差达到最小或者误差限。层析成像方程组为

$$ \Delta T = L\Delta S $$

L为射线路径矩阵, 通过射线追踪可以获得该矩阵;ΔT为旅行时残差向量;ΔS为慢度增量向量, 是一个需要求解的列向量。利用最小二乘法即可求解得到

$$ \Delta S = (L^T L)^{-1}L^T\Delta T $$

射线走时层析成像的原理

在一个速度连续变化的介质中，地震射线走时与介质慢度的关系式为

$$ t = \int_L s(x) d\textit{l} $$

等式中，L是地震波的传播路径，s(x)是与空间位置有关的介质慢度，与速度关系为\( s(x) = \frac{1}{v(x)} \)，t是地震射线走时.积分路径是L，而L是依赖于 v(x)的传播路径，因此这个等式是一个非线性的方程，对其线性化前，需要有介质的参考速度，假设参考速度为 \(v_0(x)\)，此时上式可化为

$$ t_0 = \int_{L_0} \frac{1}{v_0(x)} dl $$

如果在参考速度 \(v_0(x)\)上加一个速度扰动值δv，即 \(v(x) = v_0(x)+\delta v\)，则地震波的传播路径和射线走时都产生扰动值，即

$$ L = L_0+\delta L，t = t_0+\delta t $$

上式可化为

$$ t_0+\delta t = \int_{L_0+\delta L} \frac{1}{v_0(x)+\delta v}dl $$

将 \(\frac{1}{v_0(x)+\delta v}\)用几何级数展开得到

$$ \frac{1}{v_0(x)+\delta v} = \frac{1/v_0(x)}{1-(-\delta v / v_0(x))} = \frac{1}{v_0(x)}-\frac{\delta v}{v_0^2(x)}+\frac{\delta v^2}{v_0^3(x)}-\cdots $$

代入上式并略去二阶以上小量

$$ t_0+\delta t = \int_{L_0+\delta L} (\frac{1}{v_0(x)}-\frac{\delta v}{v_0^2(x)})dl $$

假定 \(\delta v\)很小，不影响路径，则上式化为

$$ t_0+\delta t = \int_{L_0} (\frac{1}{v_0(x)}-\frac{\delta v}{v_0^2(x)})dl = \int_{L_0} \frac{1}{v_0(x)}dl-\int_{L_0} \frac{\delta v}{v_0^2(x)}dl $$

慢度对速度求导

$$ \delta s(x) = -\frac{\delta v}{v_0^2(x)} $$

将走时公式中的速度换成慢度

$$ \delta t = \int_{L_0} \delta s(x)dl $$

\(\delta s\)为慢度扰动量， \(\delta t\)为走时残差，.如果将模型介质离散成M个块体

$$ d = g_mx_m $$

其中m=1，2，…，M；d是观测的地震射线走时(绝对走时或走时残差)， \(d_m\)是地震射线在第m个块体中的传播路径长度 \(x_m\)是第m个块体的慢度参数.以上是只有一条射线的情况，如果有N条地震射线

$$ d_n = g_{nm}x_{m} $$

其中n=1，2，…，N； \(d_n\)是第n条地震射线的观测走时(绝对走时或走时残差)， \(g_{nm}\)是第n条地震射线在第m个块体中的传播路径长度； \(x_m\)是第m个块体的慢度参数，矩阵形式为

$$ D = G \times X $$

其中，D 是N维的观测走时向量，元素为 \(d_n\)；G是一个N×M维的矩阵，元素为 \(g_{nm}\)； X 是M维的慢度参数向量，元素为 \(x_m\)，之后利用方程组的方法处理。

References:
1. 张风雪, 余大新, 张广成. 2014. 地震射线走时层析成像的简单数值例子[J]. 地球物理学进展, 29(3): 1080-1083, doi: 10.6038/pg20140310
2. 赵烽帆，张明辉，徐涛．2014．地震体波走时层析成像方法研究综述．地球物理学进展，29(3)：1090-1101，doi：10.6038/pg20140312
3. 任浩然,王华忠,黄光辉. 地震波反演成像方法的理论分析与对比[J]. 岩性油气藏,2012,024(005):12.